La giostra delle stelle

Data pubblicazione: Nov 05, 2020 12:15:55 PM

Ieri uno studente mi ha fatto una domanda molto interessante a proposito della lezione sui sistemi di riferimento accelerati: le stelle viste dalla Terra sembrano girare in cerchio. Ma il moto circolare è un moto accelerato. Quale forza è responsabile dell'accelerazione centripeta delle stelle? 

Vediamo di illustrare il problema anche per quelli che non sono studenti di fisica. Il problema di base è il seguente: le leggi della fisica sono le stesse in ogni sistema di riferimento o no?

Come aveva già notato Galileo, e poi Newton, ci sono sistemi di riferimento privilegiati, detti inerziali, in cui vale la prima legge di Newton: un corpo non soggetto a forze (o per cui la somma delle forze è zero) viaggia in moto rettilineo uniforme. Un caso particolare di questo moto è quello in cui inizialmente è  fermo, e rimane fermo. Se invece un corpo è soggetto ad una forza f, viene accelerato con una accelerazione a tale che f=ma, la seconda legge di Newton. 

Viceversa, se vediamo un oggetto accelerare con una accelerazione a, desumiamo che ci dev'essere una forza che causa questa accelerazione. 

Ma un corpo che segue un percorso circolare, anche se a velocità uniforme, è accelerato, perché la velocità cambia sempre di direzione. Se la velocità di rotazione è ω,  la velocità dell'oggetto è ωR (R essendo la sua distanza dall'asse di rotazione) e la sua accelerazione (centripeta, diretta verso l'interno) è ac=ω2R. Per le stelle abbiamo quindi bisogno di una forza mω2R diretta, tra l'altro, non verso la Terra, ma verso l'asse di rotazione, che è. una linea che attraversa la Terra.  Ma questa forza non può certo essere  dovuta alla gravità, sia perché la Terra è  piccola e lontanissima dalle stelle, che sono enormi, perché vediamo tutto il cielo ruotare come se fosse un oggetto rigido, e perché la forza di gravità punterebbe verso il centro della Terra e non verso l'asse di rotazione.

Abbiamo parlato di forze, ma bisogna specificare cosa indica esattamente questo termine. Abbiamo le forze che si possono attribuire a una interazione, per esempio forze gravitazionali, forze elettromagnetiche, forze dovute ad urti, forze elastiche, forze di attrito, forze vincolari (che poi sono tutte di origine elettromagnetica/quantistica). Possiamo fare alcuni esperimenti. Se lasciamo cadere un oggetto, vediamo che questo accelera verso il basso, e attributiamo questa accelerazione alla forza di gravità. Se però appoggiamo l'oggetto su un tavolo orizzontale, questo resta fermo. Secondo quello che abbiamo detto prima, sull'oggetto non dovrebbe agire nessuna forza, ma dato che sicuramente agisce la gravità, dobbiamo supporre che ci sia un'altra forza, uguale ed opposta, in modo che la somma si annulli. Questa forza è la "reazione" del tavolo, che non è altro che una forza elastica: il tavolo si deforma impercettibilmente, qaunto basta per neutralizzare la forza di gravità. Se vogliamo visualizzare la forza elastica, dobbiamo solo appendere il nostro corpo ad un elastico. 

Similmente, possiamo caricare elettricamente un corpo (per esempio una pallina di polistirolo o un palloncino sfregando con della lana) e vedere che, ugualmente, la forza elettostatica può accelerare un corpo, oppure possiamo usare una calamita per vedere gli effetti della forza magnetica. 

Abbiamo detto che se la somma delle forze è nulla un oggetto rimane fermo o in moto rettilineo uniforme in un sistema inerziale. Dato che questo accade anche nel nostro laboratorio, possiamo assumere che in prima approssimazione la Terra sia un sistema inerziale (poi vedremo che non è del tutto vero). Ma cos'è un sistema di riferimento inerziale? Un sistema isolato nello spazio?

Vediamo. Ci sono tanti video che mostrano che sulla stazione spaziale internazionale un oggetto "galleggia" senza peso o, se lanciato, segue un percorso rettilineo.

Ma l'unica forza "fisica" che agisce sugli oggetti e le persone nella stazione spaziale internazionale (ISS) è la gravità (vedere "cadere con stile"). 

Il fatto è che se la Terra approssima un sistema inerziale, come può  eserlo la ISS,  che vi gira intorno? 

Tutti sappiamo che, quando imbocchiamo una curva in auto, sentiamo una "forza" che ci spinge verso l'esterno (la forza centrifuga). I motociclisti e i ciclisti devono inclinarsi in curva in modo che il loro peso  e la reazione del suolo "compensino" appunto la forza centrifuga. La ISS viaggia intorno alla Terra con una velocità opportuna, calibrata in modo che la forza centrifuga bilanci esattamente la forza di gravità, e in questo modo tutto lì sopra sembra "senza peso". 

Newton risolve il problema di cosa è un sistema inerziale prendendone uno privilegiato, il "sistema delle stelle fisse", e tutti quelli in moto rettilineo uniforme rispetto a questo. Eh, sì, perché già Galileo aveva mostrato nei suoi dialoghi che tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro sono equivalenti, nel senso che non possono fare esperimenti per capire se il sistema è fermo o in moto (anche se in realtà Galileo pensava che fosse il moto circolare uniforme, quello dei pianeti, il moto "naturale" in assenza di forze, dato che  la legge di gravitazione universale non era stata ancora scoperta).

Certo, le stelle visibili ruotano nella Via Lattea (la nostra galassia) e questa si muove rispetto ad altre galassie, ma l'accelerazione di questi movimenti è talmente piccola da poterli trascurare. Ma la Terra ruota intorno a se stessa e intorno al Sole, quindi non è veramente un sistema inerziale. Gli effetti sono abbastanza piccoli da poterli ignorare nella vista di tutti i giorni (tranne che nel caso di proiettili o razzi in moto a grande velocità), ma vedremo che la rotazione delle stelle intorno alla Terra può essere spiegata proprio usando le leggi della fisica in un sistema di riferimento in rotazione. 

Infatti, è possibile continuare ad usare le leggi della fisica anche nei sistemi accelerati (rispetto a quelli inerziali), dobbiamo "solo" introdurre delle forze dette "apparenti" (anche se sono realissime) o "inerziali". Cominciamo con quelle più semplici. 

Se siamo a sedere su una automobile che accelera, sentiamo una forza che ci preme sul sedile. Se l'auto decelera, ci sentiamo proiettati verso il parabrezza (e se non indossiamo le cinture ci possiamo fare molto male). Quindi, se il nostro sistema di riferimento ha una accelerazione lineare A, sentiamo una forza -mA, dove m è la nostra massa, in direzione opposta (per questo il segno meno, il fatto che abbiamo scritto A in grassetto indica che dobbiamo considerare non solo il valore dell'accelerazione, ma anche la sua direzione e il suo verso).  

In questa maniera possiamo ottenere gli stessi risultati scrivendo f=ma sia nel sistema inerziale che in quello accelerato.  

Facciamo il seguente esperimento: appendiamo qualcosa a un filo e lo attacchiamo allo specchietto retrovisore dell'auto. Come si inclina il filo quando acceleriamo? E quando freniamo? Ovviamente nel primo caso si inclina all'indietro e nel secondo in avanti. 

E se invece abbiamo in auto un palloncino riempito di elio? In questo caso il palloncino va in avanti quando acceleriamo e verso la parte posteriore quando freniamo. Questo perché il palloncino nel suo complesso è meno denso dell'aria, per questo tende a salire. Quando freniamo, abbiamo una forza "apparente" verso la parte anteriore, che fa sì che l'aria sia spinta da quella parte, ovvero la pressione è. leggermente più  grande nella parte antetiore rispetto a quella posteriore. Di conseguenza il palloncino viene spinto dove la pressione è. inferiore, quindi verso l'alto (come prima) e versioo la parte posteriore.

Se siamo seduti su una giostra e questa sta accelerando o decelerando, sentiamo una forza simile. Ma se il sistema di riferimento ruota a velocità costante? 

Consideriamo cosa succede ad un lanciatore di peso. 

Mentre ruota, il lanciatore deve bilanciare una forza che tende a strappargli il peso dalle mani. Facendo i calcoli si vede che questa forza vale mω2R, diretta verso l'esterno, dove ω  è la velocità di rotazione e R la distanza del corpo m dall'asse del movimento. 

Ma non è tutto. In un sistema di riferimento ruotante appare anche una forza che devia i corpi in movimento, la forza di Coriolis. 

I calcoli mostrano che per riprodurre la deviazione vista nel sistema di riferimento ruotante, la forza di Coriolis deve valere 2mωv sin(θ), dove v è la velocità dell'oggetto nel sistema di riferimento ruotante e θ è l'angolo tra l'asse di rotazione e v. 

Abbiamo adesso tutti gli elementi necessari. Le stelle appaiono ruotare con una velocità angolare ω, quindi, nel nostro sistema di riferimento terrestre, sono soggette ad una forza centrifuga mω2R che ha proprio il valore richiesto, ma purtroppo è diretta verso l'esterno, mentre abbiamo bisogno di una forza centripeta. 

Per fortuna c'è la forza di Coriolis. Le stelle hanno una velocità tangenziale (apparente) v=ωR, quindi sono soggette ad una forza di Coriolis 2mω2R che, facendo i conti, viene diretta verso l'interno. Il fattore 2 è qui essenziale: metà della forza di Coriolis annulla la forza centrifuga, e la metà rimanente dà proprio l'accelerazione centripeta richiesta. 

Se ci pensiamo, è quello che succede quando giriamo la testa: il mondo ci gira attorno, ma (nel nostro sistema di riferimento) viene tenuto in posizione dalla forza di Coriolis!